Physik: Zur Gruppengeschwindigkeit von Wasserwellen
Released by matroid on So. 21. November 2021 15:50:43
Written by Roland17 - (123 x read)
Physik  \(\begingroup\) Einleitung Dieser Artikel ist eine Ergänzung des bei Matroids-Matheplanet am 8.12.20 veröffentlichten Artikels „ Die Gruppengeschwindigkeit von Wasserwellen“ (1) und ein Widerruf des am 13.12.20 auch dort veröffentlichten Artikels „Die Entstehung und Natur von Wasserwellengruppen“(2). Im ersten Artikel ging es um die Frage „Wie ist die Gruppengeschwindigkeit der keilförmigen Wellenschleppe hinter einem Boot oder Schiff zu berechnen bzw. wovon hängt sie wie ab?“ Im Folgenden werden die seither zur Verifizierung der dort hergeleiteten Formeln durchgeführten Messungen und weitere mathematische Beweise vorgestellt. Abb. 1: Satellitenfoto eines Motorbootes auf der Weser bei Ovelgönne, mit Wellenschleppe und eingezeichneten Winkeln α = 7° und β = 13° Hauptteil Es geht um die dortigen Formeln \ v_g=v*sin\alpha\label(4.I) und v_p=v*sin\beta\label(6.I) , woraus durch Division folgt v_g/v_p=(sin\alpha)/(sin\beta)\label(7.I) Dabei bedeutet v die Schiffs- bzw. Erregergeschwindigkeit, \v_g die Gruppengeschwindigkeit, \v_p die „Phasengeschwindigkeit“, \alpha den Winkel zwischen Fahrtrichtung (grün, s. Abb. 1) und Wellengruppe (gelb) und β den Winkel zwischen Phasenwellen-Kammlinie (sandfarben) und Fahrtrichtung. Dafür gibt es folgende einfachere Beweise als in (1): Die Bewegung einer Wellenschleppe mit der Geschwindigkeit v gleicht der Verschiebung eines Dreiecks in Richtung seiner Winkelhalbierenden. Darum handelt es sich um ein mathematisches, einfaches trigonometrisches Problem, nicht um ein physikalisches. Folgendes Dreieck werde in der Zeit t um die Strecke s_v verschoben: \(\endgroup\)
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Mathematik: Alles ist trivial!
Released by matroid on Mo. 15. November 2021 20:40:35
Written by Kezer - (594 x read)
Vermischtes  \(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

Trivial.

Heutzutage ist alles trivial. Der Professor behandelt ein Lemma und exklamiert bloß, dass es eine triviale Übungsaufgabe sei. Der Tutor meint, dass es nicht viel zu besprechen gibt, denn alle Aufgaben dieser Woche seien ziemlich trivial. Man liest ein beliebiges Paper, doch viele Aussagen darin seien sowieso trivial. In einer Unterhaltung zwischen Studenten hört man "das ist doch trivial!" "ich glaube das ist trivial!" "das ist trivial, oder?". Alles ist trivial. Auf dem Matheplaneten ist auch alles trivial. Es ist trivial. Ich weiß nur noch nicht wieso. \(\endgroup\)
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Mathematik: Von Schlangen und Hunden in Penrose-Parkettierungen
Released by matroid on Fr. 29. Oktober 2021 17:54:00
Written by Slash - (275 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Von Schlangen und Hunden in Penrose-Parkettierungen

In diesem Artikel werden aperiodische Kachelsätze aus je zwei Kacheln vorgestellt, die auf der bekannten Penrose-Rauten-Parkettierung basieren und bisher nicht veröffentlicht oder im Internet erwähnt wurden. Es wird auch eine Näherungslösung für eine sogenannte aperiodische Monokachel vorgestellt, deren Parkett fünf Arten von Lücken besitzt. Sätze von Protokacheln, welche die euklidische Ebene ausschließlich nichtperiodisch parkettieren können, werden aperiodisch genannt. Als quasiperiodisch werden Parkettierungen bezeichnet, bei denen sich beliebig große Ausschnitte wiederholen, ohne dass das Parkett insgesamt periodisch ist. Die bekanntesten Beispiele für quasiperiodische Parkettierungen sind die Penrose-Parkettierungen, benannt nach ihrem Entdecker Roger Penrose. Der Begriff aperiodisch wird nach neuester Definition übrigens nur auf die Kachelsätze angewandt. Die daraus entstehenden Parkettierungen sind dann jeweils nichtperiodisch. Selbst in der Fachliteratur ging das früher oft wild durcheinander. In neueren Publikationen hingegen wird das sauber unterschieden.
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Stern Mathematik: Gruppen sind immer noch Top!
Released by matroid on So. 05. Februar 2006 09:44:30
Written by Gockel - (9616 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

 
Gruppenzwang VII

Hallo Freunde der Gruppentheorie. Nachdem ich zuerst unschlüssig war, ob ich die Gruppenzwangreihe über die Themen von Algebra I hinaus fortsetzen sollte, habe ich mich nun entschlossen, weiterführende Themen der Gruppentheorie hier mit einzugliedern. Das heißt in diesem Artikel insbesondere1, das Thema der topologischen Gruppen aufzugreifen. Das heißt vor allem auch, dass es ab hier Gruppenzwänge geben wird, die nicht mehr von Grund auf alles aufbauen, sondern gewisse Voraussetzungen machen. Es werden Artikel sein, die ich vor allem zu meinem Vergnügen und für eine kleinere Gruppe Themeninteressierter schreibe. In diesem Artikel werde ich z.B. Grundkenntnisse in Topologie voraussetzen, d.h. ein Verständnis davon, was offene Mengen und Umgebungen sind, was stetige Abbildungen und Hausdorff'sche Räume sind etc. Zumindest die grundlegenden Definitionen und Sätze sollten also bekannt sein.
1 Ich mag dieses Wort... :)
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Mathematik: Pi und die Gammafunktion
Released by matroid on So. 03. Oktober 2021 09:00:15
Written by jjzun - (448 x read)
Analysis  \(\begingroup\) Ich möchte in diesem Artikel zeigen, wie man nur mit elementarer Analysis und etwas Trigonometrie einige neue Werte der Gammafunktion im Intervall (0,1) ausrechnen kann. Es soll hier eher um die Grundidee gehen, darum bin ich an manchen Stellen nicht rigoros. Die Inspiration dazu kommt (mal wieder) von Carl Friedrich Gauß. Der junge Carl Friedrich beschäftigt sich nämlich bereits 1796 als 19-jähriger in seinem Tagebuch [Carl Friedrich Gauss Werke Band X.1] mit folgendem Problem: Die Lemniskate zum "Radius" a ist gegeben durch die Menge aller Punkte (x,y) für die gilt: \((x^2 + y^2)^2 = 2 a^2 (x^2 - y ^2)\) Wie für den Einheitskreis mit Radius 1, beschränken wir uns im Folgenden auf die "Einheitslemniskate" mit \(a= \frac{1}{\sqrt{2}}\), damit die Gleichung so einfach wie möglich ist. 1.) Gegeben den Abstand r eines Punktes auf der Lemniskate zum Ursprung, wie lang ist die Bogenlänge der Kurve s vom Ursprung bis zu diesem Punkt? Und andersrum: 2.) Gegeben die Bogenlänge s, was ist der Abstand r dieses Punktes? \(\endgroup\)
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Mathematik: Polynomdivision - Direkte Berechnung beliebiger Koeffizienten
Released by matroid on Mo. 16. August 2021 18:59:39
Written by easymathematics - (340 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\) In diesem Artikel möchte ich ein Verfahren vorstellen, welches mathematisch gesehen gewisse Ästhetik hat. Gegeben seien zwei Polynome \( a(x)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_i x^i \) und \( b(x)=b_1 x + b_0\). Dann gibt es bekanntlich zwei eindeutige Polynome \( q(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1} q_i x^i \) und \(r(x) = r\), s. d. \[a(x) = q(x)b(x) + r(x)\] gilt. Die Koeffizienten \(q_i\) können mit Stift und Papier nach und nach mittels Polynomdivision berechnet werden. Problem: Um einen Koeffizienten \(q_i\) zu berechnen, müssen die vorherigen \( q_{i+1}, ..., q_{n-1}\) bekannt sein. Wie wäre es mittels einer Matrix eine direkte Formel anzugeben? "Direkt" heißt hier: Ohne Kenntnis der vorherigen Koeffizienten. Ist es möglich? Falls nein, warum nicht? Und falls doch... wie sieht \[ q_{i} = f(a_{i}, b_{i}) \] aus? Ich habe mit auf die Suche begeben und das Resultat gibt es hier: \[ q_{n-1-i} = \sum \limits_{t=0}^{i} (-1)^{i+t} \quad b_{1}^{t-i-1} \quad b_{0}^{i-t} \quad a_{n-t}, \quad i=0, ..., n \] und speziell gilt \( q_{-1} = \frac{r}{b_1} \), welcher mit dem Koeffizienten der Laurent-Reihe an der Indexstelle -1 übereinstimmt. Hübsch, oder? Wir diskutieren in diesem Artikel den Beweis. \(\endgroup\)
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Mathematik: Typische Beweismotive
Released by matroid on So. 20. Juni 2021 16:23:34
Written by Triceratops - (912 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Typische Beweismotive

Dies ist die Fortsetzung des Artikels Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann. Dort ging es um einfache Beweise, die sich schon alleine durch eine gute "Buchführung" der Definitionen, Voraussetzungen und Behauptungen hinschreiben lassen. In diesem Teil soll es nun um Beweise gehen, wo mehr Kreativität benötigt wird. Dazu stelle ich einige Beweismotive vor und illustriere sie wieder mit zahlreichen Beispielen. Es geht hierbei um keine konkreten Beweistechniken wie Induktion, Widerspruchsbeweis und dergleichen, wozu es schon sehr viel Material gibt, sondern um viel grundsätzlichere Denkweisen, die einem dabei helfen, einen Beweis zu finden.
• Reduktion auf einen Spezialfall • Teile und herrsche • Verschärfe die Behauptung • Führe einen Parameter ein • Verallgemeinere den Kontext
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Mathematik: Matrizen sind Homomorphismen zwischen direkten Summen
Released by matroid on Do. 20. Mai 2021 12:49:04
Written by Triceratops - (656 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Matrizen sind Homomorphismen zwischen direkten Summen

Matrizen lernt man in Vorlesungen zur linearen Algebra üblicherweise als "rechteckige Zahlenschemata" kennen. In diesem Artikel werden Matrizen hingegen ausgehend von der Bestimmung der linearen Abbildungen zwischen direkten Summen von Vektorräumen hergeleitet. Die Matrixmultiplikation entsteht in diesem Kontext aus der Komposition von linearen Abbildungen. Damit bekommt man ein gutes Verständnis dafür, was Matrizen und die Matrixmultiplikation eigentlich sind, wobei hier sogar Blockmatrizen inbegriffen sind. Dieser Artikel setzt lediglich Vektorräume, Basen und lineare Abbildungen als bekannt voraus, richtet sich also insbesondere an interessierte Studienanfänger*innen.
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Mathematik: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
Released by matroid on Mi. 28. April 2021 23:08:33
Written by Bernhard - (714 x read)
Spiele+Rätsel  \(\begingroup\)

Steinchen wechsel Dich!

Ein neues Brettspiel von Bernhard

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