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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Wie kann ich die Quantoren einer prädikatenlogischen Implikation in die Klammer bekommen?
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Kein bestimmter Bereich J Wie kann ich die Quantoren einer prädikatenlogischen Implikation in die Klammer bekommen?
roomsixhu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2007-02-05


Hallo! Ich hätte für die Formel der prädikatenlogischen Implikation gerne eine Formulierung, wobei je bei P und T ein Quantor steht, also jedes Prädikat für sich seinen Quantor hat:
fed-Code einblenden
Ich glaube nämlich das geht nicht. Und das liegt an der Axiomatik. Das ist sozusagen die Umkehrung der Herstellung einer Pränexform. Wie heißt das? Ausmultiplizieren?
Ich brauche das für den Vergleich Begriffslogik-Prädikatenlogik.
Gruß Roomsixhu.



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Gockel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2007-02-05


Hi.

Willkommen auf dem Matheplaneten.
Was genau meinst du mit "wobei je bei P und T ein Quantor steht, also jedes Prädikat für sich seinen Quantor hat"? In deiner Formel (klasse, dass du gleich den fed benutzt hast  ) stehen vor P und T keine Quantoren...

mfg Gockel.



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roomsixhu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2007-02-05


Hallo, danke. Ich glaube das ist schon eine Antwort. Ich dachte an folgendes:
Laut Wikipedia gibt es quantorenlogische Folgerungen: Z.B.
Aus:
fed-Code einblenden
folgt:
fed-Code einblenden
Das Umgekehrte gilt aber nicht.
Und dann gibt es Äquivalenzen:
fed-Code einblenden
Aber für die Implikationsformel gibt es das nicht. Ist sie so eine Art kleinster gemeinsamer Nenner? Was bedeutet das? Ich habe da schon mal eine Idee und werde dieser jetzt nachgehen:
fed-Code einblenden
kann man durch
fed-Code einblenden
ausdrücken. Das werde ich mit P(x) und T(x) probieren.
Mal sehen, ob ich mich irgendwie klar ausgedrückt habe.

Es ist durchaus möglich, daß meine Frage komplett sinnlos ist.

Gruß Raum 608



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roomsixhu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2007-02-06


Entschuldigung, ich hatte aus Versehen das ok-Häckchen gesetzt.
Ich bitte meine Frage nochmals zu beachten: Was ich bisher herausgekriegt habe ist folgendes:
Folgt letzendlich T(x) so gilt sowohl:
fed-Code einblenden
weil vorausgestzt,
als auch
fed-Code einblenden
weil T(x) wahr ist
und somit
fed-Code einblenden
was anscheinend dann allgemeingültig ist mit den Voraussetzungen zusammen. Und
fed-Code einblenden
ist doch wohl eine Tautologie. Heißt also genau schon:
fed-Code einblenden
also wird genaugenommen nicht der Quantor für P(x) gefolgert, sondern lediglich der für T(x) im geklammerten Ausdruck. Richtig oder Blödsinn? So das muß ich jetzt wie oben angedeutet weiter ausrechnen.

Erneuter Gruß Raum 608
[ Nachricht wurde editiert von roomsixhu am 06.02.2007 23:01:46 ]



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Plex_Inphinity
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2007-02-07


Hallo,

fed-Code einblenden

Gruß
Plex

[ Nachricht wurde editiert von Plex_Inphinity am 07.02.2007 00:13:53 ]



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fru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2007-02-07

\(\begingroup\)
fed-Code einblenden



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 07.02.2007 05:26:22 ]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 04.04.2008 12:02:47 ]
\(\endgroup\)


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Plex_Inphinity
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2007-02-07


Hallo fru,

fed-Code einblenden

Gruß
Plex

[ Nachricht wurde editiert von Plex_Inphinity am 07.02.2007 03:08:58 ]



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fru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2007-02-07


fed-Code einblenden



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roomsixhu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2007-02-08


Vielen Dank, für die Mühe. Ich habe mich falsch ausgedrückt.

Ich fange mal an zu zeigen, was ich kapiert habe und was mein eigentliches Problem ist.

Vorab eine kleine Legende für Mitleser, die so mühsam anfangen mußten wie ich:

fed-Code einblenden
heißt Alle Pferde sind Tiere

Der Backslash \
heißt Differenz also
fed-Code einblenden
bedeutet die Grundmenge ohne die Erfüllungsmenge von A

fed-Code einblenden
eines booleschen Verbandes kann man umschreiben in fed-Code einblenden
oder
fed-Code einblenden
wegen
fed-Code einblenden
in einer booleschen Algebra

Zur ersten Antwort von Plex:


Ich wollte nun T nicht als wahr voraussetzen. Ich wollte nur sagen: Angenommen man wollte aus
fed-Code einblenden
für die Tiere etwas schließen, was braucht man dafür, was fehlt da noch?

In der Axiomatik der Aussagenlogik gilt der modus ponens: aus p und fed-Code einblenden
kann man t als wahr erweisen. Also muß für t p wahr sein.

Um t zu erschließen genügt aber schon
fed-Code einblenden
was weniger voraussetzt als p ist wahr.

Für die Quantoren würde ich nur sagen:
fed-Code einblenden
Aber das sagt weniger aus als die vordere Implikation und ist eine Folgerung aus ihr

Oder auch:
fed-Code einblenden
(ist dasselbe wie oben)

Aber das ist auch nur eine Subalternation, also eine Folgerung und keine Äquivalenz und meine einzige Möglichkeit Quantoren tiefer in die Klammern zu kriegen.

Aber
fed-Code einblenden
habe ich verstanden:
Es gilt glaube ich aber auch:
fed-Code einblenden
Ebenso habe ich eine Formulierung durch Umbennung von Variablen:
fed-Code einblenden

Jedenfalls habe ich ein Beispiel in dem für den hinteren Teil einer Implikation (wie heißt der gleich) die Variablen umbenannt werden. Und schließlich läßt sich alles auf Pränexform bringen.

Da weiß man aber schon mehr als das ursprüngliche Problem hergab.


Zu den Definitionen:
Sie setzen wahr und falsch gleich und den modus ponens kann man nicht mehr anwenden, weil man die Voraussetzung P(x) nicht mehr als wahr erweisen kann, denn P ist mit Sicherheit keine Aussage.
Das Ganze gibt einen immer falschen Ausdruck. Man kann auch nicht
fed-Code einblenden
zeigen. Man kann nicht alles definieren:
Z.B
fed-Code einblenden
stimmt
fed-Code einblenden
stimmt auch
fed-Code einblenden
stimmt nicht.


Zu der Antwort von fru:
Das ist sehr schön, das verstehe ich schon etwas. So schön hinschreiben konnte ich es nur nicht.

Es scheint dann aber letztendlich
fed-Code einblenden
Ist das richtig? Jedoch kann doch in einem prädikatenlogischen Zusammenhang sowohl A als auch
fed-Code einblenden
wahr sein.

Zu den Nachträgen:
fed-Code einblenden
heißt Subalternation und folgt nun mal in der Prädikatenlogik. Im allgemeinen folgt sie nicht.
Aus
Alle Menschen sind sterblich
folgt höchstens bedingt
Einige Menschen sind sterblich.

Jedenfalls sehe ich es so.

Jetzt mein letzter Nachtrag wie angedeutet, leider als boolescher Verband geschrieben:

fed-Code einblenden
im booleschen Verband schreibt man in einer booleschen Algebra
fed-Code einblenden
und auch
fed-Code einblenden

Wenn jetzt genügt um t zu zeigen
fed-Code einblenden
wobei ich ab sofort die Negation mit einem Überstrich anzeige.

fed-Code einblenden
im Verband wird zu
fed-Code einblenden
und
fed-Code einblenden
in einer Algebra, fällt mir auf, daß t sowohl gegenüber p als auch   fed-Code einblenden
das Supremum ist und umgekehrt beide gegenüber t je ein Infimum.

Also zusammenfassend:
Die Formel
fed-Code einblenden
für eine Implikation sieht deshalb so aus, weil man für P gar nicht wissen kann ob
fed-Code einblenden
gilt oder nicht, jedoch beide deshalb P und
fed-Code einblenden
gegenüber T Infima sein müssen.

Insgesamt muß ich sagen, daß die Quantoren zwei Funktionen erfüllen:
1.Sie sind verallgemeinerte und und oder Verknüpfungen
2. Sie stellen die Existenz sicher
3. Schließlich noch, da alles auf die Aussagenlogik zurückgeführt wird, schließen sie Widersprüche (Falsches) aus.

Ich hoffe es macht hier nicht zuviel Mühe, meine Fehler zu korrigieren. Danke im Voraus.
Gruß Room Sixhu(ndredeight)
[ Nachricht wurde editiert von roomsixhu am 08.02.2007 20:52:22 ]



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Plex_Inphinity
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2007-02-08


Hallo,

2007-02-08 17:57 - roomsixhu schreibt:
Ich fange mal an zu zeigen, was ich kapiert habe und was mein eigentliches Problem ist.
...
ich habe deinen weiteren Ausführungen leider nicht entnehmen können, was das eigentliche Problem ist.
Kannst du es nicht mal in einem Satz formulieren und auf den Punkt bringen?

Gruß
Plex



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roomsixhu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2007-02-08


Ich wollte nur begründet bestätigt haben, daß man
fed-Code einblenden
nicht äquivalent umformen kann.
Man kann nur Folgerungen ableiten. Warum eigentlich? Eine Erklärung wäre schön.

Gruß
Roomsixhu



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roomsixhu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2007-02-12


Auf die Gefahr hin, daß die seniors laut aufschreien, fasse ich jetzt meine Erkenntnis zusammen und hoffe, daß sie, soweit sie völliger Blödsinn ist, nicht unwidersprochen bleibt. Man darf mir auch sagen, daß ich gar nichts kapiere, das hülfe mir auch weiter.

Die prädikatenlogische Formulierung:
fed-Code einblenden

läßt sich unter Informationsverlust in diese Folgerungen umschreiben:

fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Oder nach Umbenennung der Variablen auch unter Informationsverlust, denn ich glaube das x von oben enthielt das Wissen um die Relation zwischen x und y hier unten, und das geht mit der Umbenennung verloren, in folgende Äquivalenz:
fed-Code einblenden

Wenn mir jetzt jemand einfach alles Falsche hier durchstreicht, kann ich das Thema abhaken.

Danke und Gruß Roomsixhu.
[ Nachricht wurde editiert von roomsixhu am 12.02.2007 15:29:46 ]



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Plex_Inphinity
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2007-02-12


Hallo,

das  ist,so weit ich das beurteilen kann, alles korrekt.

Gruß
Plex

[ Nachricht wurde editiert von Plex_Inphinity am 12.02.2007 16:55:25 ]



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roomsixhu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2007-02-13


Sehr gut, das hat mir schon weitergeholfen. Ich laß es bis übermorgen noch unabgehakt, vielleicht will fru ja noch mal draufschauen. Ich weiß außerdem inzwischen, wieso der Quantor so vor der Formel steht, das ist aber eine längere Geschichte.
Gruß und vielen Dank aus Raum 608



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